W codziennej rutynowej praktyce pomiarowej – nazwijmy ją produkcyjną lub pozalaboratoryjną – równanie pomiaru oraz stosowanie poprawek wydaje się często czymś zbędnym, o ile w ogóle funkcjonuje w świadomości osób wykonujących pomiary… Tymczasem dobrze sformułowane równanie pomiaru jest gwarantem właściwego zdefiniowania i zrozumienia celu pomiaru – menzurandu.

Czym jest równanie pomiaru?

Równanie pomiaru to matematyczny model procedury pomiarowej, który przekształca zbiór powtórzonych obserwacji w wynik pomiaru.

Aby ukierunkować nasze rozważania zaczniemy od przypomnienia, że wynik (dla uproszczenia przyjmuję, że chodzi o pomiar bezpośredni metodą porównawczą) odczytany z urządzenia pomiarowego (pojedyncza obserwacja) to wynik mocno surowy. Obarczony jest na starcie wieloma niewiadomymi, które powodują, że posłużenie się nim w celu podjęcia ważnej decyzji związane jest z wysokim ryzykiem. Po pierwsze pamiętamy, że:

Nie istnieje pomiar bezbłędny

Zatem każdy pomiar musi być błędem obarczony. W najprostszym ujęciu zawsze wpłynie nań poprawność przyrządu (zdolność do dawania wyników prawdziwych) oraz precyzja (zdolność do dawania wyników spójnych). I o ile możemy wyobrazić sobie, że błąd pomiaru dla pojedynczej obserwacji wynosi zero (różnica wartości zmierzonej i wartości rzeczywistej równa zero) a także stuprocentową powtarzalność przyrządu (wszystkie wskazania w serii identyczne), to wciąż wisi nad nami Damoklesowy miecz, na którym wyryto:

Wartość niepewności pomiaru nigdy nie będzie zerowa

O powyższych zagadnieniach szerzej pisałem już na blogu, więc odsyłam choćby tutaj i tutaj.

Surowy wynik pomiaru

W tekście powyżej pojawiło się określenie wyniku surowego. Doprecyzujmy je:

Wynik surowy – wynik pomiaru przed korekcją (błędu systematycznego)

Gdy wykonujemy serię powtórzeń uzyskujemy zbiór liczb – wyników surowych, co opisać możemy równaniem:

Xs = xp + 𝚫sx + 𝚫pX

gdzie:

Xs – wynik surowy, xp – wartość prawdziwa mierzonej wielkości, 𝚫sx – błąd systematyczny, 𝚫pX – błąd przypadkowy

Jest więc sumą wartości prawdziwej i wpływu błędów systematycznych i przypadkowych, a w zasadzie tylko przypadkowych, bo systematyczne dają się wyznaczyć i skorygować (w warunkach powtarzalności). Wprawne oko z pewnością zauważy, że w równaniu tym ukryta jest pewna niedogodność, mianowicie nieznana w rzeczywistości wartość prawdziwa. Jest to konieczne uproszczenie stanowiące wadę podejścia rachunku błędów względem nowoczesnego podejścia do szacowania niepewności pomiaru… Niemniej chcąc stosować poprawki, a co za tym idzie podnosić jakość naszego pomiaru, musimy się z tym pogodzić.

Błędy systematyczne i przypadkowe

Aby nasze rozważania przekuć w praktyczne rozwiązania, najważniejszym jest zrozumieć różnice między błędem systematycznym a przypadkowym. Przyjrzyjmy się najpierw liczbom.

Błąd systematyczny – różnica między średnią z (nieskończonej) liczby pomiarów tej samej wielkości mierzonej, wykonanych w warunkach powtarzalności, a wartością „prawdziwą” wielkości mierzonej

Powtórzenie 1	3,15
Powtórzenie 2	3,09
Powtórzenie 3	3,22
Powtórzenie 4	3,01
Powtórzenie 5	3,03
Średnia	3,10
Wartość rzeczywista	3,00
Błąd systematyczny	0,10

Błąd przypadkowy – różnica między wynikiem pomiaru a średnią z (nieskończonej liczby) pomiarów tej samej wielkości mierzonej, wykonanych w warunkach powtarzalności

	Wartość zmierzona	Błąd przypadkowy (powtórzenie minus średnia)
Powtórzenie 1	3,15	0,05
Powtórzenie 2	3,09	-0,01
Powtórzenie 3	3,22	0,12
Powtórzenie 4	3,01	-0,09
Powtórzenie 5	3,03	-0,07
Średnia	3,10	–

Zatem: błąd systematyczny jest stały dla serii pomiarów. Znając błąd systematyczny i wartość średnią dla serii pomiarów możemy wykryć błąd przypadkowy.

Błąd przypadkowy jest różny dla każdego wyniku w serii. Dla jeszcze lepszego zrozumienia przyjrzyjmy się porównaniu w tabeli:

Błąd systematyczny	Błąd przypadkowy
Nie da się wykryć metodą statystyczną, nie można poznać go dokładnie	Daje się wykryć i oszacować metodą statystyczną, da się wyznaczyć jego wartość
Można eliminować lub skorygować poprzez zastosowanie poprawki. Wtedy można przyjąć, że ma wartość zero	Nie może być skompensowany, ale może być zmniejszony np. poprzez wzrost liczby obserwacji
Jego źródłem są wielkości wpływające takie jak warunki środowiskowe, właściwości materiałów	Jego źródłem najczęściej są błędy odczytu czy wynikające z pracy przyrządu takie jak zmiany w czasie
Ma charakter kierunkowy: zwiększa lub zmniejsza wynik pomiaru	Zwykle cechuje się tym, że przyjmuje wartości raz powyżej, raz poniżej średniej

Błędy systematyczne, których nie można obliczyć traktujemy jako przypadkowe.

Warto zaznaczyć, że zakwalifikowanie błędu jako systematyczny lub przypadkowy nie zawsze jest tak oczywiste. Wyobraźmy sobie ciekawy przypadek związany z odczytem z urządzenia analogowego – niedokładność odczytu ma z reguły charakter systematyczny. Jeśli jednak operator nie zachowuje prawidłowego kąta patrzenia wprowadza czynnik przypadkowy…

Poprawki

Poprawka to wartość dodana algebraicznie do surowego wyniku pomiaru w celu usunięcia błędu systematycznego. Jest więc błędem systematycznym z przeciwnym znakiem.

Aby zredukować błędy systematyczne powinniśmy przede wszystkim zredukować do zera lub zminimalizować wpływ źródła zakłócenia. Osiąga się to chociażby poprzez zapewnienie odpowiednich warunków środowiskowych (wpływ temperatury) czy stosowanie odpowiednich metod i przyrządów (stały nacisk pomiarowy, dobór nacisku tak aby zredukować odkształcenia). Niemniej całkowita eliminacja wpływu „zakłóceń” nie jest zwykle możliwa, stąd jeśli ich wpływ uznamy za znaczący, należy je skorygować poprzez zastosowanie poprawek. Oczywiście zalecany jest tu zdrowy rozsądek – korygowanie wartości, które mają pomijalny udział w wyniku (np. wpływ temperatury powodujący zmianę długości obiektu mierzonego o kilka tysięcznych milimetra w pomiarze, gdzie tolerancje są bardzo szerokie) może nie przynieść żadnych korzyści, wprowadzi jedynie niepotrzebne komplikacje…

Wpływ temperatury i odkształceń sprężystych to najczęściej poprawiane w równaniu pomiaru wartości.

O wpływie temperatury pisałem już tutaj, ale dla porządku w skrócie możemy wskazać kilka związanych z tym zagadnieniem kwestii w kontekście często wprowadzanych poprawek:

• Poprawka na zmianę wymiaru wraz ze zmianą temperatury obliczana jest ze wzoru:

𝚫 L ₌ L₀ x ⲁ (t₁ – t₀),

gdzie: 𝚫 L  – zmiana długości, ⲁ – współczynnik rozszerzalności liniowej, L_{0 –} długość początkowa, t₀ – temperatura początkowa, t₁– temperatura końcowa

• Poprawkę temperaturową związaną z różnicą temperatur przyrządu i obiektu wyznaczamy ze wzoru:

Wp x ⲁ x 𝜎t,

gdzie: Wp – wskazanie przyrządu, ⲁ- uśredniony współczynnik rozszerzalności, 𝜎t – różnica temperatur

Wpływ odkształceń sprężystych zostanie przeze mnie bliżej omówiony w osobnym artykule. W każdym razie wpływ ten zależy od rodzaju styku (kształtu) końcówki pomiarowej i powierzchni mierzonej. Na tej podstawie należy zastosować odpowiedni wzór, na przykład:

W precyzyjnych pomiarach laboratoryjnych oraz tam, gdzie wpływ poprawek stanowi zauważalny procent przedziału i wpływa na ocenę zgodności, poprawki powinny być uwzględniane. Do rozważenia jednak poza precyzją i wymaganiami pomiaru jest także skala zjawisk wpływających – zwróćmy uwagę na teoretycznie niewymagający pomiar stalową miarą zwijaną w pełnym słońcu czy pomiar materiałów elastycznych… Wtedy poprawki z temperatury i odkształceń sprężystych mogą okazać się niezbędne do opanowania.

Świadome i rozsądne stosowanie poprawek może więc poprawić jakość pomiaru. Przy tej okazji warto także poruszyć kwestię korygowania wyniku o błąd wskazania przyrządu, co jest normalną praktyką choćby we wzorcowaniu. Za przykład niech posłuży wzorcowanie płytek wzorcowych – wyznaczenie odchyłek od długości nominalnej płytki sprawdzanej odbywa się poprzez odniesienie do znanych odchyłek płytki stanowiącej wzorzec. Tak więc istotna jest znajomość odchyłki każdej płytki w komplecie wzorcowym i wartości te są ważniejsze niż klasa. Podejście takie jednak rzadko miałoby sens w codziennej przemysłowej praktyce pomiarowej, dlatego wygodniejsze jest stwierdzenie klasy. Podobnie w każdym innym pomiarze – wiedząc, że przyrząd ma w danym punkcie błąd wskazania równy +0,005 mm, można wynik pomiaru w tym punkcie pomniejszyć o tę wartość. Trudno jest jednak w wielu przypadkach wyegzekwować takie postępowanie i dopilnować prawidłowości jego stosowania, stąd praktyczniejsze jest określanie MPE i założenie, że bezpieczne są wszystkie wartości błędów mniejsze niż MPE.

Równanie pomiaru

Kiedy wartość wielkości mierzonej odczytywana jest bezpośrednio z przyrządu pomiarowego równanie pomiaru ma postać:

X = Wp + Pw +Prd + Pws

gdzie:

Wp – średnie wskazanie, Pw – poprawka wskazania, Pd – poprawka z rozdzielczości lub działki, Pws – poprawka z warunków środowiskowych

Poniżej przedstawiam przykładowe równanie pomiaru przy pomiarze metodą różnicową – średnica wałka czujnikiem nastawionym na płytce wzorcowej. Przykład jest na tyle złożony, na ile to konieczne aby był wyczerpujący, ale i na tyle prosty, aby dał się zastosować w wykonywanych przez Was na co dzień pomiarach:

D = [(W₂+P_w2) – (W₁+P_w1)+ L + P_wz + P_t + P_s] +/- U

Gdzie:

D – średnica (wynik), W_{2 –} wskazanie odczytane na wałku, P_w2 – poprawka na wskazanie na wałku, W_{1 –} wskazanie odczytane na wzorcu, P_w1 – poprawka na wskazanie na wzorcu, L – wymiar nominalny wzorca, P_wz – poprawka wymiaru wzorca, P_t – poprawka temperaturowa, P_s – poprawka na odkształcenie sprężyste, U – rozszerzona niepewność pomiaru

Podsumowanie

Osobiście uważam, że stworzenie od podstaw równania pomiaru stanowi znakomity punkt wyjścia dla prawidłowej realizacji zadania, co w konsekwencji zaowocować może lepszą jakością uzyskiwanych wyników. Naturalnie zagadnienie to idzie w parze z szacowaniem niepewności pomiaru, ale daje wymierne korzyści również tam, gdzie niepewność szacowana nie jest. Zrozumienie rodzajów i źródeł błędów przybiera bardziej namacalne kształty, gdy zostają staja się one zapisanymi pozycjami równania, a więc czymś znanym – zamiast niewiadomej. A sprowadzenie nieznanego do minimum to ważny element doskonalenia sztuki pomiarowej. Poza tym – lubię traktować równanie pomiaru jako element instrukcji, który zapewnia powtarzalne i odtwarzalne postępowanie oraz pozwala zatrzymać się na chwilę zwłaszcza, gdy wyniki budzą nasze wątpliwości.